NUESTRO PROYECTO

EJERCICIOS DE FUNCIONES DERIVADAS ENCONTRANDO SU PRIMITIVA

• PRIMER EJERCICIO

 Hallar una función F cuya derivada es F’(x)=3x2.
Como d 3 x 3x
dx
⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 2 , entonces la respuesta es F(x) = x3
La función F se llama antiderivada de F’. Conviene usar la frase: F(x) es una antiderivada de f(x). En
efecto, como también d 3 x 4 3x
dx
⎡ ⎤ + = ⎣ ⎦ 2 , entonces también es respuesta F(x) = x3
 + 4. Más aun, la
derivada de x3
 + C, siendo C una constante cualquiera, implica que la respuesta será: F(x) = x3
 + C.
Definición: Una función F se llama antiderivada (o primitiva) de una función f, si F ‘(x) = f(x).
Luego, un primer resultado sería: Si F es una antiderivada de f, entonces G es una antiderivada de f
si y sólo si G es de la forma

 G(x) = F(x) + C
donde C es una constante arbitraria.
Notación: Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una solución de la
ecuación
 dy f(x) dx =
Note que efectivamente se trata de una ecuación pues hay una igualdad y una incógnita, la función y.
Dado que la incógnita está sufriendo la acción de la derivada, esta ecuación se llama ecuación
diferencial.
Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribirla en su forma diferencial
equivalente
 dy =f(x)dx
La operación que permite hallar todas las soluciones (o solución general) de esta ecuación se llama
integración y se denota por el símbolo ∫ . 

Donde f(x) se llama integrando, la diferencial que acompaña a f(x) nos indica la variable de
integración y C se llama constante de integración.
La expresión se llama integral indefinida de f respecto de x. Los términos integral
indefinida y primitiva general son sinónimos.
∫ f(x)dx
El hecho que una operación sea la inversa de la otra, se refleja de la siguiente manera:
• La integración es la inversa de la derivación: basta sustituir F’(x) por f(x) en la definición
anterior:
∫F'(x)dx = + F(x) C
• La derivación es la inversa de la integración:
⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ d f(x)dx f(x) dx
pues f(x)dx = + F(x) C . ∫
Esta relación entre derivación e integración, nos permite obtener algunas fórmulas de integración

directamente de las fórmulas de derivación.

• SEGUNDO EJERCICIO

Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

Solución:
Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

integral

operaciones

función primitiva

PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Función Primitiva

Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevola función original f(x).

Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).

Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintosde c sin ningún pre-requisito para obtener a c.

Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.

Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.

Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc.

Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].

Esto puede ser representado como,

La función primitiva de cualquier función puede ser encontrada a través del proceso de integración o antidiferenciación.

Como se mencionó anteriormente no existe solo una función primitiva sino que existe toda una familia de tales funciones.

Ahora bien, G(x) es un miembro de la familia de la función primitiva F(x) si esta satisface la condición,

Aquí c es la constante arbitraria de integración.

La función primitiva a veces se denomina también como integral indefinida para la función f(x).

Sabemos que es posible calcular el valor de una integral definida para la función f(x) al calcularel valor de la función primitiva en el límite superior e inferior de la función y encontrando la diferencia entre los dos.

Por tanto se puede establecer que,

Esto significa que nunca tenemos una sola función primitiva F(x) para la función dada f(x).

También que para la función dada f(x) de grado n, la función primitiva F(x) será de un grado más alto que el de la función dada.

Un punto digno de mención es que a través de la declaración anterior podemos relacionar las integrales definidas con las integrales indefinidas; esto es parte del teorema fundamental del cálculo.

Sin embargo, no es esencial que exista una función primitiva para cada función.

Para que una función primitiva exista, es necesario que la función dada sea continua en un intervalo abierto arbitrario.

No todas, pero una entre las muchas funciones primitivas se puede obtener mediante el cálculo de la integral definida de la función variando el límite superior de integración.

Si intentamos variar el límite inferior también, podemos obtener otras funciones primitivas, sin embargo no es posible calcularlas todas de esta manera.

La función primitiva se puede conseguir mediante el cálculo de la integración de la función dada, por lo tanto, la función primitiva de 5y6 sería

5y6

5[y6+1/ 6+1]

5/7 y7

Ejemplos:

Para mayor entendimiento sobre las primitivas de una función puedes observar el siguiente vídeo:

CIBERGRAFÍA

• Teorema rescatado de http://definicion.de/teorema/#ixzz49FWiV9JU (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:21 p.m.)
•  Diferencial rescatado de http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/definicion_de_diferencial.htm (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:27 p.m.)
• Indefinido rescatado de  http://deconceptos.com/general/indefinido#ixzz49FYK3A4p (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:30 p.m.)
• Máximo absoluto rescatado de http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/a/absolutemaximum.htm (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:35 p.m.)
• Mínimo absoluto rescatado de http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/a/absoluteminimum.htm (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:38 p.m.)
• Mínomo local rescatado de http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/l/ocalminimumrelativeminimum.htm (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:40 p.m.)
• Máximo local rescatado de http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/l/ocalmaximumrelativemaximum.htm (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:42 p.m.)
• Antiderivada rescatado de https://calculointegral1.wordpress.com/antiderivada-o-primitiva/ ( el día 21 de mayo de 2016 a las 3:45 p.m.)
• Integral rescatado de http://www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html  (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:47 p.m.)
• Derivada rescatado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:49 p.m.)
• Evaluar rescatado de http://es.thefreedictionary.com/evaluar (el día 21 de mayo de 2016 a las 3:54 p.m.)

• Teorema fundamental del cálculo rescatado de http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/integracion2/html/tfundamental.html (el día 22 de mayo de 2016 a las 5:30 p.m.)
• La integral y la derivada rescatado de https://dhthmates.wikispaces.com/La+integral+y+derivada (el día 22 de mayo de 2016 a las 5:41 p.m.)
• Integración rescatado de http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html (el día 22 de mayo de 2016 a las 5:49 p.m.)
• Técnicas de integración rescatado de http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/integracion2/html/metodos.html (el día 22 de mayo de 2016 a las 6:08 p.m.)

LA INTEGRAL INDEFINIDA COMO UNA FAMILIA DE FUNCIONES

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Técnicas de Integración.

A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales de una clase muy amplia de funciones.

Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una integral más sencilla.

Integración por cambio de variable.

Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.

Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:

Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).

Integración por partes.

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.

Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:

u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:

Integración de funciones racionales:

Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:

 a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador es de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n

b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:

La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:

Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:

con A1, ...An constantes reales.

b.2) Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas:

La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir:

Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3…(x-an)mn

De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.

b.3) Q(x) tiene raíces complejas distintas:

Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma:

ax2 + bx + c       con      b2 - 4ac < 0

a cada uno de estos factores le corresponde una fracción parcial de la forma:

donde A y B son constantes reales.

b.4) Q(x) tiene raíces complejas repetidas:

Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma:

(ax2 + bx + c)n       con      b2 - 4ac < 0

a cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma:

con Ak, Bk constantes reales (k=1, ..n).

Técnicas de Integración trigonométrica:

a) Funciones racionales de funciones trigonométricas.

Si el integrando es una función racional de senos y cosenos de la forma R(senx, cosx), entonces la integral se reduce a la integral de una función racional de "t" mediante un cambio de variable.

1) Función racional de senx y cosx, impar en sex x, es decir R(-senx, cosx) = -R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:

     cos x = t

2) Función racional de senx y cosx, impar en cos x, es decir R(senx, -cosx) = -R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:

     sen x = t

3) Función racional par en senx y cosx, es decir R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:

4) En cualquier caso, cambio general. Se aplica el cambio siguiente:

b) Integrales que contienen funciones trigonométricas.

Veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica:

1) Potencias de senos y cosenos.    

  

Para resolver este tipo de integrales, consideramos dos casos:

o Si n es impar, es decir, n = 2k+1, factorizamos el integrando, por ejemplo:

sennx dx = sen2k+1x dx = (sen2x)k senx dx

 

Utilizamos la identidad sen2x+cos2x=1 y tomamos el siguiente cambio de variable:

- En caso de potencias del seno: u=cosx

- En caso de potencias del coseno: u=senx

o Si n es par, es decir, n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo:

sennx  = sen2kx  = (sen2x)k

cosnx  = cos2kx  = (cos2x)k

y utilizamos las identidades trigonométricas:

sen2x = [1-cos(2x)] / 2

cos2x = [1+cos(2x)] / 2

              

2) Productos de potencias de senos y cosenos

o Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:

sen2x = (1-cos2x) / 2      y      cos2x = (1+cos2x) / 2

o Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad:

sen2x+cos2x=1

3) Productos de potencias de tangentes y secantes.

o Si n es par, utilizamos la identidad:

sec2x = 1 + tan2x

o Si m es impar, utilizamos la identidad:

tan2x = sec2x - 1

o Si n es impar y m par, utilizamos algún otro método, como por ejemplo, integración por partes.

c) Sustitución trigonométrica.

Este método nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales son funciones trigonométricas.

1) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

tomamos el cambio de variable:

x = a sen θ, con a > 0 ;

θ = arcsenx

2) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

tomamos el cambio de variable siguiente:

x = a tan θ, con a > 0

θ = arctanx

3) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

tomamos el cambio de variable siguiente:

x = a sec θ, con a > 0

θ = arcsec(x/a)  si x>a

θ = 2arcsec(x/a)  si x<-a

Integración de funciones Irracionales:

a) 

donde R es una función racional.

Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio x = tk, donde "k" es el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, ...,s).

b)  

donde R es una función racional.

Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio 

donde "μ" es el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, q, ...,v).

c)

donde R es una función racional.

                    c.1) Si a > 0, el cambio a realizar es

                    c.2) Si c > 0, el cambio a realizar es

                    c.3) Si a < 0 y c < 0, el cambio a realizar es

                                                         con ax2 + bx + c = a(x-α)(x-β