EJERCICIOS DE FUNCIONES DERIVADAS ENCONTRANDO SU PRIMITIVA

• PRIMER EJERCICIO

 Hallar una función F cuya derivada es F’(x)=3x2.
Como d 3 x 3x
dx
⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 2 , entonces la respuesta es F(x) = x3
La función F se llama antiderivada de F’. Conviene usar la frase: F(x) es una antiderivada de f(x). En
efecto, como también d 3 x 4 3x
dx
⎡ ⎤ + = ⎣ ⎦ 2 , entonces también es respuesta F(x) = x3
 + 4. Más aun, la
derivada de x3
 + C, siendo C una constante cualquiera, implica que la respuesta será: F(x) = x3
 + C.
Definición: Una función F se llama antiderivada (o primitiva) de una función f, si F ‘(x) = f(x).
Luego, un primer resultado sería: Si F es una antiderivada de f, entonces G es una antiderivada de f
si y sólo si G es de la forma

 G(x) = F(x) + C
donde C es una constante arbitraria.
Notación: Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una solución de la
ecuación
 dy f(x) dx =
Note que efectivamente se trata de una ecuación pues hay una igualdad y una incógnita, la función y.
Dado que la incógnita está sufriendo la acción de la derivada, esta ecuación se llama ecuación
diferencial.
Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribirla en su forma diferencial
equivalente
 dy =f(x)dx
La operación que permite hallar todas las soluciones (o solución general) de esta ecuación se llama
integración y se denota por el símbolo ∫ . 

Donde f(x) se llama integrando, la diferencial que acompaña a f(x) nos indica la variable de
integración y C se llama constante de integración.
La expresión se llama integral indefinida de f respecto de x. Los términos integral
indefinida y primitiva general son sinónimos.
∫ f(x)dx
El hecho que una operación sea la inversa de la otra, se refleja de la siguiente manera:
• La integración es la inversa de la derivación: basta sustituir F’(x) por f(x) en la definición
anterior:
∫F'(x)dx = + F(x) C
• La derivación es la inversa de la integración:
⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ d f(x)dx f(x) dx
pues f(x)dx = + F(x) C . ∫
Esta relación entre derivación e integración, nos permite obtener algunas fórmulas de integración

directamente de las fórmulas de derivación.

• SEGUNDO EJERCICIO

Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

Solución:
Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

integral

operaciones

función primitiva