LA INTEGRAL Y LA DERIVADA COMO PROCESOS INVERSOS

La integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.

Esto es importante porque en muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales parece buena idea saber hacer esto.

Por todo esto,vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.

El resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular integrales definidas.

El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser :

• Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función  ,

1.- La función es continua.

2.-Si además es una función continua, entonces es derivable, y

Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia. 

El enunciado del TFC2 es algo así:

• Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Sies una función continua y es una función tal que, entonces:

Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos  (lo que se denomina una primitiva de) y restamos los valores de en los extremos del intervalo.

Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente función , definida mediante una integral:

La situación no es exactamente igual que antes, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcularnecesitamos algo más.Este algo más es una generalización del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena(que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones): 

Generalización del TFC1

           Si la funciónestá definida mediante la siguiente integral

            entonces su función derivada se calcula de la siguiente forma:

Con esta fórmula podemos calcular la derivada de la función anterior:

Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad, ya sea para estudiar monotonía y/o curvatura de esa función, para comprobar si es solución de cierta ecuación diferencial, para utilizar la regla de L’Hopital en un límite donde aparezca dicha función, etc.

Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz

Vamos a darle al tema una vuelta de tuerca más. Dada una función definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende? Es decir, si nuestra tiene esta forma: 

donde la funcióndepende de(que es la variable de) además de depender de, 

¿cómo calculamos su derivada?

Para este caso necesitamos utilizar la conocida como Fórmula de Leibniz, que nos dice cómo calcular dicha derivada. Ahí va:

Fórmula de Leibniz

Dada la función

podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:

Como podemos ver, la fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 que vimos antes junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de respecto de.